Par­ket­te

Par­ket­te

1. Was ist ein räum­li­ches Par­kett?
Eine nor­ma­le (2‑dimensionale) Par­ket­tie­rung ist eine lücken­lose und über­lap­pungs­freie Bede­ckung der Ebe­ne durch Anein­ander­setzen von zwei­di­men­sio­na­len Figu­ren.<

Eine räum­li­che (3‑dimensionale) Par­ket­tie­rung ist nun eine lücken­lo­se und über­schnei­dungs­freie Aus­fül­lung eines (3‑dimensionalen) Rau­mes durch räum­li­che Objek­te. Am ein­fachs­ten geht das mit Wür­feln.

2. Was ist ein Pla­to­ni­scher Kör­per?
Ein Pla­to­ni­scher Kör­per ist ein Poly­eder, der fol­gen­de Eigen­schaften erfüllt:
Alle Eck­punk­te lie­gen auf einer Kugel.
Es besteht aus kon­gru­en­ten, regel­mä­ßi­gen Poly­go­nen als Sei­ten­flä­chen

3. Wie groß sind die Win­kel zwi­schen zwei benach­bar­ten Sei­ten bei den Pla­to­ni­schen Kör­pern?
 Tetra­eder: ca. 70,53°

Hexa­eder: 90,00°
Okta­eder: ca. 109,47°
Dode­ka­eder: ca. 116,57°
Iko­sa­eder: ca. 138,19°

4. Wel­che drei­di­men­sio­na­len Par­ket­tie­run­gen mit nur eine Sor­te von pla­to­ni­schen Kör­pern gibt es?

Zunächst ist offen­sicht­lich, dass sich der Raum voll­stän­dig durch Wür­fel (Hexa­eder) aus­fül­len lässt. Die Berech­nung der Win­kel zwi­schen je zwei Sei­ten­flä­chen zeigt fer­ner, dass eine Par­ket­tie­rung im Sin­ne der obi­gen Defi­ni­ti­on mit paar­wei­se kon­gru­en­ten Pla­to­ni­schen Kör­pern außer mit Hexa­edern nicht mög­lich ist, denn 360° muss ein Viel­fa­ches die­ses Win­kels sein. Der Grund besteht dar­in, dass über­all um die­se Kan­te her­um Pla­to­ni­sche Kör­per sein müs­sen, da der Raum ja lücken­los aus­ge­füllt wer­den muss.

5. Wel­che drei­di­men­sio­na­len Par­ket­tie­run­gen mit meh­re­ren Sor­ten von pla­to­ni­schen Kör­pern gibt es? Will man ver­schie­de­ne Pla­to­ni­sche Kör­per zusam­men­set­zen, so muss die Sum­me der Win­kel zwi­schen deren Sei­ten­flä­chen eben­so gleich 360° sein; aus Punkt 3 ist ersicht­lich, dass damit Tetra­eder und Okta­eder die ein­zi­ge mög­li­che Kom­bi­na­ti­on bil­den. Denn deren Sei­ten­win­kel bil­den zusam­men 180°. Wenn man also je zwei Tetra­eder und zwei Okta­eder an einer Kan­te zusam­men­setzt ent­steht eine voll­stän­di­ge Aus­fül­lung des Rau­mes. 

Arten:

Vier­eck Par­ket­te

Dass man ein Par­kett aus Qua­dra­ten und Recht­ecken (Fig.1) her­stel­len kann, weiß wohl jeder. Aber, dass man für ein Par­kett auch jedes belie­bi­ge Vier­eck ver­wen­den kann, ist nicht so ganz klar und wird des­halb im Fol­gen­den begrün­det.

Fig. 1

Zuerst neh­men wir irgend ein Vier­eck (Fig.2). Die Innen­win­kel sind mit unter­schied­li­chen Far­ben gekenn­zeich­net.

Fig. 2

Dadurch, dass wir die­ses Vier­eck immer wei­ter an den Mit­tel­punk­ten der Sei­ten punkt­spie­geln, wird die Flä­che rest­los abge­deckt. Da alle Innen­win­kel eines Vier­ecks zusam­men 360° erge­ben, ent­ste­hen kei­ne Zwi­schen­räu­me, wenn sich die vier Eck­punk­te tref­fen.

Fig. 3

Die­ses gilt auch für Vier­ecke, die einen über­stump­fen Win­kel haben.

Fig. 4

Pen­ro­se Par­kett

Das Pen­ro­se-Par­kett wur­de 1974 von Sir Roger Pen­ro­se erfun­den und ist das berühm­tes­te Bei­spiel eines “ape­ri­odi­schen Par­ketts”,

d.h. eine Kopie des Par­ket­tes kann nie­mals so ver­scho­ben, gedreht oder gespie­gelt wer­den, dass sie genau mit dem Ori­gi­nal zur Deckung kommt (Du kannst das mit der rechts bei­gefüg­ten Folie über­prü­fen).

Zwar wie­der­ho­len sich aus der schma­le­ren Rau­te gebil­de­te, flü­gel­ar­ti­ge Struk­tu­ren und eben­so Ster­ne und Roset­ten, die die brei­te­re Rau­te ent­hal­ten, doch ist ein ein­heit­li­ches Sche­ma, nach dem dies geschieht, nicht ohne Wei­te­res zu erken­nen. Es ist des­halb auch nicht ein­fach, etwa ein Grund­stück in der Art des Pen­ro­se-Par­ketts zu pflas­tern.

Zwei wei­te­re Eigen­schaf­ten des Pen­ro­se-Par­ketts

Die bei­den unte­ren Abbil­dun­gen zei­gen den­sel­ben Aus­schnitt aus dem Pen­ro­se-Par­kett. Aus zwei ver­schie­de­nen For­men – hier einer “dicken” und einer “dün­nen” Rau­te – ent­steht ein Par­kett, das eine fünf­zäh­li­ge Sym­me­trie besitzt. Es ist “qua­si­pe­ri­odisch”, wie­der­holt sich also nie in regel­mä­ßi­gen Abstän­den. Die rech­te Abbil­dung hebt her­vor, dass das Pen­ro­se-Par­kett fünf ein­an­der berüh­ren­de und durch­drin­gen­de Zehne­cke ent­hält.

Eine wei­ter Eigen­schaft des Pen­ro­se-Par­ketts ist, dass jeder end­li­che Aus­schnitt des Par­ketts unend­lich oft in der Gesamt­fi­gur vor­kommt – und dass die nächs­te Kopie eines der­ar­ti­gen Gebie­tes mit Durch­mes­ser d ist nie wei­ter als 2d ent­fernt vom Aus­gangs­ge­biet ent­fernt ist. Du kannst am gro­ßen links abge­bil­de­ten Pen­ro­se-Par­kett über­prü­fen. Jede Roset­te und jeden Stern den du ent­deckst kannst du in eini­gem Abstand wie­der­fin­den.

Archi­me­di­sches Par­kett

Def. : Ein Par­kett heißt archi­me­disch genau dann, wenn es fol­gen­de Eigen­schaf­ten besitzt:

  1. Es ent­hält zwei oder mehr Sor­ten regel­mä­ßi­ger Viel­ecke.

  2. An jeder Ecke gibt es von jeder Viel­ecks­sor­te die glei­che Anzahl.

  3. Jede Sei­te eines Viel­ecks ist Sei­te eines wei­te­ren Viel­ecks; ins­be­son­de­re sind alle Sei­ten gleich­lang.

  4. Zu je zwei Ecken P und Q des Par­ketts gibt es Dre­hun­gen, Ver­schie­bun­gen oder Spie­ge­lun­gen, die P auf Q und das Par­kett auf sich selbst abbil­den.

Erläu­te­run­gen:

  • Beach­te, dass unter 1. zwei oder mehr S o r t e n regel­mä­ßi­ger Viel­ecke gefor­dert wer­den

  • Ein Viel­eck ist genau dann “regel­mä­ßig” oder “regu­lär”, wenn alle Sei­ten gleich­lang und alle Innen­win­kel gleich­groß sind.

  • Unter der “Ecke” eines Par­ketts ver­steht man einen Punkt der Ebe­ne, in dem die Ecken meh­re­rer zum Par­kett gehö­ren­der Viel­ecke zusam­men­sto­ßen.

  • Durch Ver­schie­bung, Dre­hung o d e r Spie­ge­lung muß P auf Q u n d das Par­kett auf sich selbst abge­bil­det wer­den, wobei die Ecken P und Q b e l i e b i g gewählt wer­den kön­nen, das bedeu­tet: Die Bedin­gung muß für a l l e P und Q erfüllt sein.
    Auch die Nach­ein­an­der­aus­füh­rung der genann­ten Abbil­dun­gen ist erlaubt.

Neh­men wir die vier n‑Ecke mit dem kleins­ten n:

n‑Eck

Innen­win­kel in Grad

gleich­sei­ti­ges Drei­eck

60 Grad

Qua­drat

90 Grad

gleich­sei­ti­ges Fünf­eck

108 Grad

gleich­sei­ti­ges Sechs­eck

120 Grad

Sum­me der Innen­win­kel:

378 Grad

Ein Voll­kreis hat aber nur 360 Grad!

Unse­re ers­te Schluß­fol­ge­rung lau­tet also:

Ein archi­me­di­sches Par­kett kann nur aus zwei oder aus drei ver­schie­de­nen Sor­ten von regel­mä­ßi­gen n‑Ecken bestehen.

3D-Par­ket­te

1. Was ist ein räum­li­ches Par­kett?

Eine nor­ma­le (2‑dimensionale) Par­ket­tie­rung ist eine lücken­lose und über­lap­pungs­freie Bede­ckung der Ebe­ne durch Anein­ander­setzen von zwei­di­men­sio­na­len Figu­ren.
Eine räum­li­che (3‑dimensionale) Par­ket­tie­rung ist nun eine lücken­lo­se und über­schnei­dungs­freie Aus­fül­lung eines (3‑dimensionalen) Rau­mes durch räum­li­che Objek­te. Am ein­fachs­ten geht das mit Wür­feln.

2. Was ist ein Pla­to­ni­scher Kör­per?

Ein Pla­to­ni­scher Kör­per ist ein Poly­eder, der fol­gen­de Eigen­schaften erfüllt:
Alle Eck­punk­te lie­gen auf einer Kugel.
Es besteht aus kon­gru­en­ten, regel­mä­ßi­gen Poly­go­nen als Sei­ten­flä­chen

3. Wie groß sind die Win­kel zwi­schen zwei benach­bar­ten Sei­ten bei den Pla­to­ni­schen Kör­pern?

Tetra­eder: ca. 70,53°
Hexa­eder: 90,00°
Okta­eder: ca. 109,47°
Dode­ka­eder: ca. 116,57°
Iko­sa­eder: ca. 138,19°

4. Wel­che drei­di­men­sio­na­len Par­ket­tie­run­gen mit nur eine Sor­te von pla­to­ni­schen Kör­pern gibt es?

Zunächst ist offen­sicht­lich, dass sich der Raum voll­stän­dig durch Wür­fel (Hexa­eder) aus­fül­len lässt. Die Berech­nung der Win­kel zwi­schen je zwei Sei­ten­flä­chen zeigt fer­ner, dass eine Par­ket­tie­rung im Sin­ne der obi­gen Defi­ni­ti­on mit paar­wei­se kon­gru­en­ten Pla­to­ni­schen Kör­pern außer mit Hexa­edern nicht mög­lich ist, denn 360° muss ein Viel­fa­ches die­ses Win­kels sein. Der Grund besteht dar­in, dass über­all um die­se Kan­te her­um Pla­to­ni­sche Kör­per sein müs­sen, da der Raum ja lücken­los aus­ge­füllt wer­den muss.

5. Wel­che drei­di­men­sio­na­len Par­ket­tie­run­gen mit meh­re­ren Sor­ten von pla­to­ni­schen Kör­pern gibt es?

Will man ver­schie­de­ne Pla­to­ni­sche Kör­per zusam­men­set­zen, so muss die Sum­me der Win­kel zwi­schen deren Sei­ten­flä­chen eben­so gleich 360° sein; aus Punkt 3 ist ersicht­lich, dass damit Tetra­eder und Okta­eder die ein­zi­ge mög­li­che Kom­bi­na­ti­on bil­den. Denn deren Sei­ten­win­kel bil­den zusam­men 180°. Wenn man also je zwei Tetra­eder und zwei Okta­eder an einer Kan­te zusam­men­setzt ent­steht eine voll­stän­di­ge Aus­fül­lung des Rau­mes.