Volu­men­frak­tal

Volu­men­frak­tal: Vom Tetra­eder zum Wür­fel

Ein­lei­tung

Frak­ta­le sind Objek­te, die aus Tei­len bestehen, die ihrer­seits in gewis­sem Sin­ne dem gesam­ten Objekt ähneln. In der Natur tau­chen Frak­ta­le auch auf. So sind Küs­ten­li­ni­en, Pflan­zen (v.a. Far­ne), Atmungs­sys­te­me, Wol­ken, Eis­kris­tal­le, Tur­bo­len­zen in Flüs­sig­kei­ten, usw. schö­ne Bei­spie­le.

Die Koch’sche Schnee­flo­cke ken­nen vie­le. Man beginnt mit einem gleich­sei­ti­gen Drei­eck, teilt jede Sei­te in drei Tei­le, ent­fernt das mitt­le­re und ersetzt es durch zwei eben­so lan­ge Stre­cken. Die­ses Ver­fah­ren wen­det man immer wie­der (=ite­ra­tiv) auf jedes (auch neu ent­stan­de­ne) Stre­cken­stück an. Es ent­steht ein Stre­cken­zug, des­sen Län­ge immer wei­ter zunimmt. Der Flä­chen­in­halt der Schnee­flo­cke bleibt jedoch end­lich!

Ähn­lich ist es beim Sier­pin­ski-Dra­chen. Hier wird ein gleich­sei­ti­ges Drei­eck in vier (deckungs-)gleiche gleich­sei­ti­ge Drei­ecke zer­teilt und das mitt­le­re ent­fernt. Ite­ra­tiv ange­wandt ent­steht ein Flä­chen­frak­tal, des­sen Umfang wie­der län­gen­mä­ßig gegen unend­lich geht, jedoch eine begrenz­te Flä­che umgibt. Der Sier­pin­ski-Tep­pich ver­wen­det ein Qua­drat als Start­fi­gur.

Die­se Kon­struk­ti­ons­schrit­te kön­nen aber auch in 3D (Sier­pin­ski-Schwamm) durch­ge­führt wer­den. Dabei wird aber durch das Ent­fer­nen von Stü­cken der jeweils vor­her­ge­hen­de Kör­per ‘zer­stört’, bzw. sieht man die Schrit­te im Nach­hin­ein nicht mehr.

Aus die­sem Grund haben wir einen ande­ren Weg gewählt.

Aus­ge­hend von einem Tetra­eder haben wir bei jedem Schritt jede vor­han­de­ne Flä­che wie beim Sier­pin­ski-Dra­chen gevier­teilt, dann aber auf die mitt­le­re Flä­che einen Tetra­eder der hal­ben Kan­ten­län­ge auf­ge­setzt. Wir wähl­ten wegen der Hal­bie­run­gen für die Kan­ten­län­ge unse­res Start­kör­pers 32 cm (). Die Fra­gen, die sich uns stell­ten waren:

Wie ent­wi­ckelt sich der Ober­flä­chen­in­halt?

Wie ent­wi­ckelt sich der Raum­in­halt?

Wie wird unser Kör­per nach n Schrit­ten aus­se­hen?

Rech­ne­ri­sche Betrach­tung

Ober­flä­chen­in­halt

Für den Ober­flä­chen­in­halt S unse­res Kör­pers gilt bei Schritt…

0: (Tetra­eder­ober­flä­che)

1:

2:

usw.

n:

Anschau­lich:

Jede vor­han­de­ne Flä­che wird gevier­teilt, die mitt­le­re fällt weg und drei neue Flä­chen kom­men hin­zu. Auf die­se Art wer­den aus jeder Flä­che 6 neue Flä­chen, deren Flä­chen­in­halt jedoch nur ein Vier­tel so groß ist. Daher der Fak­tor .

Dies bedeu­tet, dass die Ober­flä­che unse­res Kör­pers bei jedem Schritt um 50% anwächst!

Der Fak­tor zeigt auch, dass der Flä­chen­in­halt unend­lich groß wird, wenn man das Ver­fah­ren immer wei­ter anwen­den wür­de. Als mathe­ma­ti­sche For­mel:

Rechen­bei­spiel:

Wir star­te­ten bei unse­rem Modell mit einer Kan­ten­län­ge von und führ­ten drei Schrit­te aus

, , und .

Nach 38 Schrit­ten erhält man

Mini­te­tra­eder der Kan­ten­län­ge (pm: Pico­me­ter).

Das ist klei­ner als der Durch­mes­ser eines Atoms!

Die Ober­flä­che wür­de etwa 1 km² betra­gen. So ein Modell kann man nicht bau­en.

Hät­ten wir das über­haupt noch im Klas­sen­zim­mer unter­ge­bracht? Wie sieht es über­haupt mit dem Volu­men aus? Wel­chen Raum­in­halt nimmt unser Kör­per ein? Wächst auch er ins Unend­li­che?

Die Berech­nung erscheint ein­fa­cher, da nichts weg fällt. Aber was kommt hin­zu? Nun ja, es ist eigent­lich ganz ein­fach. Bei jedem Schritt kommt je vor­han­de­ner Sei­ten­flä­che ein Tetra­eder hin­zu, des­sen Raum­in­halt­mal so groß ist wie im vor­an­ge­gan­ge­nen Schritt.

Raum­in­halt

Für das Volu­men unse­res Kör­pers gilt bei Schritt…

0: (Tetra­eder­vo­lu­men)

1: (Zuwachs um 50%)

2: (Zuwachs um 25%)

3:

usw.

n:

Die­ses komi­sche E ist das grie­chi­sche Sig­ma und ist eine abkür­zen­de Schreib­wei­se für die Sum­me in der Klam­mer. Eine Sum­me der obi­gen Art nennt man geo­me­tri­sche Rei­he. Ihren Wert kann man direkt berech­nen:.

Somit erhal­ten wir für den Raum­in­halt nach dem n‑ten Schritt

Sieht doch kom­pli­zier­ter aus als unser Ober­flä­chen­in­halt. Immer­hin kön­nen wir unse­ren hypo­the­ti­schen Fall von oben betrach­ten. Wie groß ist denn nun der Raum­in­halt nach 38 Schrit­ten, wenn der Ober­flä­chen­in­halt fast einen Qua­drat­ki­lo­me­ter misst?

Hey, das passt ja locker noch ins Klas­sen­zim­mer! Wenn wir uns die Volu­men­for­mel ein­mal genau anschau­en, dann sehen wir, dass vom drei­fa­chen des ‘Ur’-Tetraedervolumens etwas abge­zo­gen wird. Die­ser Sub­tra­hend wird bei jedem Schritt klei­ner, da die Potenz immer klei­ner wird, ja sogar unend­lich klein wird. Tat­säch­lich gibt es einen Grenz­wert für die geo­me­tri­sche Rei­he von oben.

Es gilt näm­lich.

Somit gilt (ange­nom­men wir könn­ten unend­lich vie­le Schrit­te machen) für den Raum­in­halt unse­res Kör­pers

.

Das heißt unser Kör­per nimmt also ein end­li­ches Volu­men ein!

Form

Wie sieht das Gan­ze aber nun aus?

Nun, um dies zu erfah­ren haben wir ‘etwas’ gebas­telt. Genau­er:

1 Tetra­eder mit der Kan­ten­län­ge 32 cm (hell­blau)

4 Tetra­eder mit der Kan­ten­län­ge 16 cm (dun­kel­blau)

24 Tetra­eder mit der Kan­ten­län­ge 8 cm (hell braun) und

144 Tetra­eder mit der Kan­ten­län­ge 4 cm (oran­ge)

Nach einer Wei­le emsi­gen Kle­bens kam eine Über­ra­schung. Der Kör­per nahm die Gestalt eines Wür­fels an!

Alle Mini­te­tra­eder, die neu hin­zu gefügt wer­den lie­gen inner­halb des Wür­fels, ledig­lich äuße­re Eck­punk­te lie­gen auf den Wür­fel­sei­ten­flä­chen.

Wie groß ist das Volu­men des umschlie­ßen­den Wür­fels?

Wir sehen, dass die Sei­ten­dia­go­na­len des Wür­fels genau so lang sind, wie die Kan­ten unse­res ‘Ur’-Tetraeders. Die Kan­ten­län­ge b beträgt also und der Raum­in­halt dem­nach , also exakt .

Niklas Sto­eber

Chris­toph Richt­zen­hain

Avid Kühl

Mathe Plus­kurs 2006/07

1. Halb­jahr

StR Voit