Papier­fal­tungs­kur­ven

Papier­fal­tungs­kur­ven

Ent­ste­hung

Schnei­de aus einem DIN-A4–Blatt einen Stei­fen von etwa 2 cm Brei­te ab und mar­kie­re das rech­te Ende des Strei­fens durch ein A als Anfangs­mar­ke.

Fal­te nun die lin­ke Hälf­te über die rech­te und bie­ge dann den Strei­fen wie­der so weit aus­ein­an­der, dass er einen rech­ten Win­kel bil­det. So kann man den Strei­fen leicht auf die Kan­te stel­len. Jetzt hast du die Papier­fal­tung der ers­ten Stu­fe vor dir lie­gen.

Stu­fe 1

Für die Fal­tung der zwei­ten Stu­fe müs­sen wir den Strei­fen genau­so wie den ers­ten kni­cken, die lin­ke Hälf­te über die rech­te. Nur jetzt wer­den die über­ein­an­der gefal­te­ten Hälf­ten als neu­er Strei­fen auf­ge­fasst und noch­mals geknickt: lin­ke Hälf­te über die rech­te. Fal­ten wir den Strei­fen wie­der so aus­ein­an­der, dass lau­ter rech­te Win­kel ent­ste­hen, sieht er aus wie der unten abge­bil­de­te.

Stu­fe 2

Du kannst dir nun vor­stel­len, wie du die drit­te Papier­fal­tungs­kur­ve erhältst. Schrei­be wie­der ein A auf das rech­te Ende, kni­cke den Strei­fen wie bis­her, den Dop­pel­strei­fen wie­der und dann den Vier­fach­strei­fen noch ein­mal, immer „links über rechts“. Für die Strei­fen der nächs­ten Stu­fen wird dann das Ver­fah­ren ent­spre­chend oft wie­der­holt.

Stu­fe 3, 4 und 5

Refle­xi­ons­ge­setz

Die Regel­mä­ßig­keit des Falt­vor­gangs muss sich auch am LR-Code einer Papier­fal­tungs­kur­ve erken­nen las­sen. Das Refle­xi­ons­ge­setz sagt uns, wie man aus dem LR-Code einer belie­bi­gen Stu­fe auf den LR-Code der nächs­ten Stu­fe schlie­ßen kann, und zwar ohne jedes Papier­fal­ten.
Dazu brau­chen wir fol­gen­de Grund­über­le­gung: Wenn wir als Rad­fah­rer an eine Kur­ve kom­men, an der wir nach links len­ken müs­sen, muss ein ent­ge­gen­kom­men­der Rad­fah­rer an die­ser Kur­ve nach rechts len­ken.

Wir durch­lau­fen nun die abge­bil­de­te Papier­fal­tungs­kur­ve zwei­mal und notie­ren dabei jede Rich­tungs­än­de­rung.

Wir begin­nen am Start­punkt (“Punkt”), durch­lau­fen die Kur­ve bis zum Ende (bis­her haben wir „LLR“ notiert), dre­hen am End­punkt um (notie­ren noch ein „U“) und lau­fen wie­der zurück zum Start­punkt (und notie­ren noch LRR). Ins­ge­samt haben wir dann „LLRULRR“ notiert.
Der Code, den wir auf dem Rück­weg notiert haben, heißt der zu „LLR“ reflek­tier­te Code. Um ihn zu erhal­ten, müs­sen wir „LLR“ in umge­kehr­ter Rei­hen­fol­ge notie­ren, also für jedes „L“ ein „R“ schrei­ben und umge­kehrt.
Eine der Eigen­schaf­ten der Papier­fal­tungs­kur­ven lau­tet: Die Kur­ve einer Stu­fe kann man dadurch erhal­ten, dass man von der vor­her­ge­hen­den Stu­fe eine iden­ti­sche Kopie anfer­tigt, sie auf das Ori­gi­nal legt und dann die­se Kopie um 90° im Uhr­zei­ger­sinn dreht; als Dreh­punkt wählt man den End­punkt der Kopie. Als letz­tes ent­fernt man noch die Anfangs­mar­ke der Kopie.

Wenn man nun vom Start­punkt aus eine Kur­ve durch­läuft und den LR-Code notiert, erhält man also den glei­chen LR-Code, wie wenn man die Kur­ve der vor­her­ge­hen­den Stu­fe in der wei­ter oben beschrie­be­nen Wei­se vor­wärts und rück­wärts durch­läuft. — Mit einem Unter­schied: Das „U“, das man am End­punkt notiert hat, ist nun ein „L“. Der LR-Code der Stu­fe 4 z.B. muss also in der ers­ten Hälf­te iden­tisch sein mit dem der Stu­fe 3, dann kommt ein „L“ und dann folgt der reflek­tier­te Code der Stu­fe 3. Das besagt nun das Reflek­ti­ons­ge­setz.
Für die Stu­fe 4 muss also der Code lau­ten:
LLRLLRRLLRRLRR
und für Stu­fe 5:
LLRLLRRLLRRLRRLLRLLRRLLRRLRR
Man kann sich das Reflek­ti­ons­ge­setz auch so mer­ken:

Infla­ti­ons­ge­setz

Mit Hil­fe des Infla­ti­ons­ge­set­zes kann man die Papier­fal­tungs­kur­ven unter einem völ­lig ande­ren Blick­win­kel sehen als mit dem Refle­xi­ons­ge­setz.

Wir über­le­gen uns die Aus­sa­ge des Infla­ti­ons­ge­set­zes am bes­ten wie­der an einen Papier­strei­fen. Dazu stel­len wir uns vor, dass wir den Strei­fen schon mehr­mals geknickt haben und die­ses Strei­fen­pa­ket nun noch­mals fal­ten.

Um die dadurch neu ent­stan­de­ne Serie von Kni­cken genau­er zu ana­ly­sie­ren, fal­ten wir sie wie­der wie üblich zu einem rech­ten Win­kel auf und erhal­ten ein Strei­fen­pa­ket mit einem Links­knick.

Wir lau­fen nun die­ses Paket von der Anfangs­mar­ke aus ab. Zuerst tref­fen wir auf einen neu ent­stan­de­nen Links­knick. Dann tref­fen wir an der ande­ren Sei­ten des Pake­tes auf einen alten Knick, als 180°-Kehre geformt. Nun lau­fen wir auf dem Paket zurück und tref­fen auf hal­bem Wege wie­der auf einen neu­en Knick. Da wir nun von der ande­ren Sei­te kom­men, ist es natür­lich ein Rechts­knick. Und so geht es wei­ter: alter Knick (180°-Kehre), neu­er Knick (nun wie­der links), alter Knick, neu­er Rechts­knick u.s.w.

Stel­len wir uns vor, unser Strei­fen­pa­ket wur­de drei­mal gefal­tet und besitzt des­halb den LR-Code LLRLLRR, dann wer­den durch den neu­en Knick zwi­schen die­sen Sym­bo­len abwech­selnd „L’s“ und „R’s“ ein­ge­fügt, und zwar des ers­te „L“ vor dem ers­ten Buch­sta­ben des alten Codes, das letz­te „R“ hin­ter dem letz­ten Buch­sta­ben des alten Codes. Also erhal­ten wir (die neu ein­ge­füg­ten Buch­sta­ben sind höher gestellt und fett gedruckt)

Das ist aber die LR-Fol­ge aus Stu­fe 4, wie wir sie mit dem Refle­xi­ons­ge­setz erhal­ten haben. Wenn wir das bis­her Gesag­te zusam­men­fas­sen und verallge¬meinern, erhal­ten wir die Aus­sa­ge des Infla­ti­ons­ge­set­zes

Set­ze vor den LR-Code einer belie­bi­gen Stu­fe ein „L“, zwi­schen sei­ne Buch­sta­ben abwech­selnd ein „R“ und ein „L“ und an das Ende noch ein „R“ so erhält man den LR-Code der nach­fol­gen­den Stu­fe.

Wenn man einen belie­bi­gen LR-Code der Papier­fal­tungs­kur­ven vor­ge­ge­ben hat, kann man also mit Hil­fe des Infla­ti­ons­ge­set­zes zwei wich­ti­ge Din­ge erken­nen.
1. An den unge­ra­den Platz­zif­fern ste­hen abwech­selnd „L’s“ und „R’s“.
2. Die gera­den Platz­zif­fern bil­den den LR-Code der vor­her­ge­hen­den Stu­fe.

Damit kann man jeden belie­bi­gen LR-Code immer wei­ter bis zur Stu­fe 1 nach dem glei­chen Ver­fah­ren zer­le­gen. Wir las­sen die Buch­sta­ben an den unge­ra­den Platz­zif­fern eines Codes ste­hen und rücken die an den gera­den Platz­zif­fern ein Stück nach unten. Wir zei­gen das am LR-Code der Stu­fe 4 (Die Buch­sta­ben, die in der nächs­ten Zer­le­gung nach unten rücken, sind fett gedruckt)

Die letz­te Zer­le­gung notie­ren wir gleich in der über­sicht­li­che­ren Baum­dar­stel­lung: