Magi­sche Qua­dra­te

Das MAGISCHE QUADRAT von Albrecht Dürer war schon vor 1000 Jah­ren in Chi­na als Talis­mann be­kannt. Dürer hat die­ses Qua­drat in sei­nem Bild „Melen­co­lia 1“, das er aus Trau­er über den Tod sei­ner Mut­ter geschaf­fen hat, ver­ewigt. Seit dem ist es kurz unter dem Namen Dürer-Qua­drat bekannt.

Bis heu­te gilt es als Heils‑, Sym­bol- und Sin­nes­zei­chen und stellt ein Sym­bol für den Über­gang vom Dies­seits zu den geheim­nis­vol­len Kräf­ten des Jen­seits dar.

In die­sem Dürer-Qua­drat sind die Zah­len von 1 bis 16 ent­halten. Wenn man die Zah­len einer Rei­he oder Dia­go­na­le zusam­men­zählt, ergibt sich, wie auch in vie­len ande­ren regel­mä­ßi­gen Zahl­zu­sam­men­stel­lun­gen, immer die Sum­me 34. Die­se Zahl nennt man auch MAGISCHE ZAHL.

Die­se Schild­krö­te ist Lo-Shu. Auf ihrem Rücken soll das ers­te magi­sche Qua­drat ver­ewigt wor­den sein. Die Exper­ten strei­ten sich ob Lo-Shu ein chi­ne­si­scher Kai­ser oder eine Schild­krö­te war.

Die­ses magi­sche Qua­drat stammt aus Dürers Kup­fer­stich „Melan­cho­lie“.

Auch Goe­the fas­zi­nier­ten die magi­schen Qua­dra­te. So ver­fass­te er das Hexen­ein­mal­eins.
Damit kann man ein magi­sches Qua­drat der Ord­nung 3 her­stel­len. Hier ist es:

Die­ses magi­sche Qua­drat stammt aus einem alter­tüm­li­chen Rechen­buch:

And­re Viri­cel kon­stru­ier­te das ers­te tetra­ma­gi­sches Qua­drat mit der Ord­nung 512.

Bei vie­len magi­schen Qua­dra­ten der Ord­nung n wer­den die Zah­len 1, 2, 3,…,n² in die Fel­der ein­ge­tra­gen. Die magi­sche Zahl M, d.h. die Sum­me einer belie­bi­gen Zei­le, Spal­te oder Dia­go­na­le, kann man in die­sem Fall mit fol­gen­der For­mel berech­nen:

Für ein magi­sches 3 × 3‑Quadrat erhalt man damit .

Wie lau­tet aber eine For­mel für die magi­sche Zahl, wenn die kleins­te dar­in vor­kom­men­de Zahl a nicht 1 ist, son­dern irgend­ei­ne ande­re Zahl, und wenn die dar­auf fol­gen­den Zah­len jeweils nicht um 1, son­dern um 2, 3, 4 oder all­ge­mein um irgend­ein Inter­vall I grö­ßer wer­den?
Ein magi­sches 3 × 3‑Quadrat mit den Zah­len 10, 15, 20,…, 50 (a = 10, I = 5) hat z.B. die magi­sche Zahl M = 90.

Wir lei­ten die For­mel schritt­wei­se her.

1. Die mitt­le­re Zahl eines magi­schen Qua­drats der Ord­nung n mit der Anfangs­zahl a = 1 und I = 1 hat als mitt­le­re Zahl
.

2. Von der ers­ten bis zur mitt­le­ren Zahl muss ich das Inter­vall Z – 1 Mal über­brü­cken. Wenn man die For­mel für Z von oben ver­wen­det, erhält man dafür
.

3. Wenn ich die­se letz­te Zahl mit der Inter­vall­brei­te mul­ti­pli­zie­re, erhal­te ich den Wert, um den sich die Anfangs­zahl und die mitt­le­re Zahl unter­schei­den:

4. Addiert man hier­zu noch den Anfangs­wert a, bekommt man den Wert der mitt­le­ren Zahl:

5. Nach­dem für die magi­sche Sum­me nur die mitt­le­re Zahl mit der Ord­nung mul­ti­pli­ziert wer­den muss, gilt für die magi­sche Zahl:

Die­sen Term ver­ein­fa­chen wir noch und erhal­ten

Zur Pro­be kön­nen wir die magi­sche Zahl für die bei­den obe­ren 3 × 3‑Quadrate aus­rech­nen: